La notion de fréquence : définitions, sens et interprétation

La fréquence rapporte un nombre d’observations à une référence.

Selon cette référence, la fréquence prend deux sens : une fréquence statistique, qui exprime une proportion dans un ensemble, et une fréquence temporelle, qui exprime un nombre d’occurrences par unité de temps.

Cette distinction permet de comprendre ce que mesure une fréquence et de lire correctement les indicateurs qui l’utilisent.

La fréquence statistique

La fréquence statistique est le rapport entre le nombre d’observations présentant une caractéristique et le nombre total d’observations considérées :

Ici, $n$ désigne l’effectif présentant la caractéristique et $N$ l’effectif total, non nul.

Exemple. Parmi 200 dossiers examinés ($N = 200$), 10 comportent au moins une erreur ($n = 10$). Pour calculer la fréquence d’observation de cette caractéristique (comporter au moins une erreur), on rapporte le nombre de dossiers qui comportent cette caractéristique au nombre total de dossiers examinés :

Cette fréquence est sans dimension : elle rapporte le nombre de dossiers comportant au moins une erreur au nombre total de dossiers examinés, avec ou sans erreur. Elle est comprise entre 0 et 1, soit entre 0 % et 100 %, puisque l’effectif compté au numérateur appartient à l’ensemble placé au dénominateur.

Chaque dossier concerné est compté une seule fois, même s’il comporte plusieurs erreurs. Compter toutes les erreurs puis diviser leur nombre par celui des dossiers donnerait une autre grandeur : un nombre moyen d’erreurs par dossier, qui pourrait dépasser un et qu’il ne faut pas confondre avec la fréquence des dossiers comportant au moins une erreur.

La fréquence statistique décrit ainsi la part des observations présentant une caractéristique choisie dans un ensemble défini. Elle ne renseigne pas, à elle seule, sur le rythme auquel les dossiers erronés se présentent.

La fréquence temporelle

La fréquence temporelle est le rapport entre le nombre d’occurrences d’un événement et la durée pendant laquelle elles sont observées :

Ici, $n$ désigne le nombre d’occurrences et $\Delta t$ la durée d’observation, non nulle.

Exemple. Le suivi d’un équipement recense 4 incidents de fonctionnement au cours de 2 000 heures de fonctionnement cumulées. La fréquence observée de ces incidents est :

Cela correspond à 0,002 incident par heure de fonctionnement. Un incident est pourtant un événement entier : il survient ou ne survient pas. La valeur décimale exprime ici un rapport calculé sur la durée totale, et non une fraction d’incident réellement observée pendant chaque heure.

Pour rendre ce rapport plus lisible, on peut l’exprimer sur une durée de référence plus grande, en multipliant le nombre d’incidents et le nombre d’heures par un même facteur :

On obtient ainsi 2 incidents pour 1 000 heures, ou 1 incident pour 500 heures. Ces écritures expriment exactement la même fréquence. Le choix d’une base de 1 000 heures facilite ici la lecture ; il peut aussi répondre à une convention propre au métier ou à un besoin de comparaison. C’est bien un choix de lecture, pas une propriété de l’événement. Il ne modifie pas le résultat et ne garantit pas que chaque tranche de 1 000 heures contiendra deux incidents.

Obtenir un nombre entier est commode dans cet exemple, mais ce n’est pas une obligation : on choisit surtout une échelle adaptée à la lecture et on conserve une même base pour comparer plusieurs résultats.

La fréquence temporelle possède la dimension de l’inverse d’un temps. Elle s’exprime, par exemple, en $\mathrm{h}^{-1}$ ou en $\mathrm{an}^{-1}$, ce qui se lit « par heure » ou « par an ». Elle n’est pas limitée à un : plusieurs événements peuvent survenir au cours d’une même unité de temps.

La durée retenue doit être précisée. Des heures de fonctionnement et une durée calendaire incluant les périodes d’arrêt ne constituent pas la même référence.

Fréquence et régularité

Une fréquence temporelle n’implique pas une répétition régulière. Les quatre incidents peuvent être espacés ou concentrés sur une courte période : le rapport calculé sur les 2 000 heures reste identique.

Pour une fréquence positive, son inverse donne une durée :

Dans cet exemple, on obtient 500 heures par incident : c’est la durée de fonctionnement cumulée rapportée au nombre d’incidents observés. Cette valeur exprime une moyenne sur l’ensemble de l’observation. Elle ne signifie ni que les incidents sont espacés régulièrement de 500 heures, ni que le prochain surviendra 500 heures après le précédent. Les intervalles réels peuvent être très différents. Pour interpréter cette valeur comme un temps moyen entre événements futurs, il faut en outre adopter un modèle de leur survenue ; nous y revenons ci-dessous.

À ne pas confondre avec une répétition périodique. La notion s’applique aussi aux phénomènes périodiques, comme les vibrations d’une aiguille utilisée pour la mise en place du béton. Pour un phénomène idéalement périodique, chaque cycle se reproduit après une même durée $T$, appelée période, et la relation $f = 1/T$ décrit cette répétition. Une fréquence en cycles par seconde s’exprime en hertz.

Dans ce cadre, la période décrit la durée de chaque cycle. Pour des incidents de fonctionnement ou des dysfonctionnements dans une organisation, l’inverse de la fréquence observée exprime une durée moyenne par événement. La ressemblance des formules ne doit donc pas conduire à attribuer aux incidents la régularité d’une vibration périodique, ni à déduire de leur fréquence la date du prochain événement.

Quel rapport avec la probabilité ?

Une fréquence observée résulte d’un comptage. Une probabilité exprime la possibilité de réalisation d’un événement dans un cadre donné, par un nombre compris entre 0 et 1. Les deux notions peuvent être reliées, mais leur rapprochement demande de préciser ce que l’on étudie.

D’une proportion observée à une probabilité

Les 5 % de dossiers erronés décrivent les 200 dossiers examinés. Cette proportion peut servir à estimer la probabilité qu’un dossier présente une erreur, si les observations sont représentatives des dossiers auxquels on souhaite appliquer l’estimation.

Dans le modèle simple d’observations indépendantes ayant toutes la même probabilité d’erreur, la fréquence statistique converge vers cette probabilité lorsque le nombre d’observations augmente. Un grand effectif ne corrige toutefois pas un échantillon biaisé ou un changement des conditions de traitement.

D’une fréquence temporelle à une probabilité sur une durée

Une fréquence de 2 incidents pour 1 000 heures n’est pas directement une probabilité d’incident. Pour calculer la probabilité d’en rencontrer au moins un pendant une durée donnée, il faut décrire la façon dont ces événements surviennent.

Un modèle courant suppose des événements survenant indépendamment, avec une fréquence moyenne constante $\lambda$ : le modèle de Poisson homogène. Dans ce cadre, la probabilité d’au moins un événement pendant une durée $t$ est :

La fréquence $\lambda$ et la durée $t$ doivent être exprimées dans des unités compatibles. Le temps moyen entre deux événements vaut alors $1/\lambda$.

Exemple. Si l’on retient $\lambda = 0{,}002\;\mathrm{h}^{-1}$, la probabilité d’au moins un incident en 100 heures vaut environ 18,1 %. Sur 500 heures, elle atteint environ 63,2 %, et non 100 %. Le temps moyen entre événements n’est donc pas une échéance.

Probabilité : distinguer son expression exacte de son approximation

La relation $P = 1 – e^{-\lambda t}$ est exacte dans le modèle retenu. Lorsque le produit $\lambda t$ est très petit devant 1, elle admet une approximation simple. En posant $x = \lambda t$, on peut écrire l’exponentielle sous la forme de sa série entière, une somme infinie dont les premiers termes sont :

Puisque $P = 1 – e^{-x}$, on remplace l’exponentielle par cette expression :

Les termes $1 – 1$ s’annulent et le signe moins devant la parenthèse inverse le signe de chacun des termes qu’elle contient. Il reste donc :

Or, lorsque $x$ est très petit devant 1, les termes d’ordre deux et supérieur deviennent négligeables devant $x$. En négligeant ces termes, à partir de $x^2/2$, on obtient l’approximation :

Il s’agit d’une approximation au premier ordre, et non d’un simple arrondi du résultat exact. C’est le produit $\lambda t$, sans dimension, qui doit être faible, et non la fréquence considérée indépendamment de la durée.

Par exemple, avec $\lambda = 0{,}002\;\mathrm{h}^{-1}$ sur une heure, la formule exacte donne environ 0,001998, soit 0,1998 %, contre 0,002, soit 0,2 %, pour l’approximation. Sur 500 heures, le produit vaut 1 : l’approximation donnerait 100 %, alors que la relation exacte donne environ 63,2 %. Elle n’est plus adaptée.

Lorsque la durée choisie vaut une unité de temps — une heure pour une fréquence exprimée par heure, par exemple —, la probabilité peut donc être numériquement proche de la valeur de la fréquence dans cette unité. Cela ne signifie pas que la probabilité est égale à la fréquence : la première est sans dimension, la seconde possède la dimension de l’inverse d’un temps. La relation approchée reste $P \approx \lambda t$, sous la condition $\lambda t \ll 1$.

Le comptage initial de quatre incidents ne suffit pas à établir que ce modèle convient. Il fournit une fréquence observée ; le passage à une probabilité repose sur des hypothèses supplémentaires.

Lire une fréquence

	Fréquence statistique	Fréquence temporelle
Référence	Ensemble des observations	Durée d’observation
Sens	Part présentant une caractéristique	Nombre d’occurrences par unité de temps
Dimension	Sans dimension	Inverse d’un temps
Valeurs possibles	De 0 à 1	Valeurs positives ou nulles, pouvant dépasser 1

Lire une fréquence demande donc d’identifier ce qui est compté et la référence choisie. Ces deux éléments déterminent le sens du résultat. Ils serviront de point de départ pour examiner les notions de taux et d’indice, puis les indicateurs de fréquence utilisés dans le suivi des risques professionnels.

Pour poursuivre la lecture

• La notion de taux : définition, calcul et interprétation — comprendre ce qu’exprime un taux : numérateur, dénominateur, unités, bases d’expression et conditions de comparaison.
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